Question

在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AB=AC=AA′=2，BC=2

3

，且此三棱柱的各個頂點都在一個球面上，則球的表面積為

20π

．

Answer 1

分析：在△ABC中結合正余弦定理，算出它的外接圓半徑R=2，設三棱柱外接球的球心為O，△ABC的外接圓心為O₁，在Rt△AOO₁中利用勾股定理算出OA的長，即為外接球的半徑，最后根據球的表面積公式，可得三棱柱外接球的表面積．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC=2，BC=2

3

∴cos∠BAC=

22+22-(2 3 )2

2×2×2

=-

1

2

，結合∠BAC∈（0，π）得∠BAC=120°
再根據正弦定理，得△ABC的外接圓直徑2R=

BC

sinA

=4，即R=2
設三棱柱外接球的球心為O，△ABC的外接圓心為O₁，則OO₁=

1

2

AA'=1
可得OA=

R2+OO12

=

5

∴外接球的表面積為S=4π•OA²=20π
故答案為：20π

點評：本題給出特殊三棱柱，求它的外接球表面積，著重考查了直三棱柱的性質、球的表面積公式和多面體的外接球等知識，屬于基礎題．