Question

已知函數(shù)f（x）=|x(

a

3x2+a

-

1

x

-1)|在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分a=0、a＜0、a＞0三種情況討論去掉絕對值的符號，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=|-x-1|，
∵x∈（0，+∞），∴f（x）=x+1滿足（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（2）當(dāng)a＜0時，由3x²+a=0，解得x=

- a 3

，∴定義域內(nèi)x≠

- a 3

，故定義域不再是（0，+∞），∴a＜0不適合題意；
（3）當(dāng)a＞0時，
f（x）=|

ax

3x2+a

-x-1|=|

ax-x(3x2+a)-(3x2+a)

3x2+a

|=|

-3x3-3x2-a

3x2+a

|=|

3x3+3x2+a

3x2+a

|
∵x＞0，a＞0，∴3x³+3x²+a＞0、3x²+a＞0
∴f（x）=

3x3+3x2+a

3x2+a

=

3x3

3x2+a

+1，
∵f′（x）=

9x2(3x2+a)-3x3×6x

(3x2+a)2

=

9x2(x2+a)

(3x2+a)2

＞0
∴f（x滿足（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)a＞0時滿足條件，
綜上（1）（2）（3）知a≥0．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中含有參量時，需要分類討論，本題屬于高檔題．