已知曲線C：y=
1
x
的一條切線l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)度的最小值為
 
．
分析：求出函數(shù)的定義域，設(shè)出切點(diǎn)，求出切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，由點(diǎn)斜式得到切線方程，求出切線在x軸和y軸上的截距，得到AB的長(zhǎng)度，由基本不等式求得線段AB長(zhǎng)度的最小值．
解答：解：函數(shù)y=
1
x
的定義域?yàn)椋?，+∞），
設(shè)(x0，
1
x0
) （x0＞0）為曲線C：y=
1
x
上的任意一點(diǎn)，
∵y′|x=x0=-
1
2
x03
，
∴曲線C在(x0，
1
x0
)處的切線方程為y-
1
x0
=-
1
2
x03
(x-x0)．
取y=0，得x=3x0，
取x=0，得y=
3
2
x0
．
∴|AB|=
9x02+
9
4x0
=
9x02+
9
8x0
+
9
8x0
≥
3
39x02•
9
8x0
•
9
8x0
=
3×
9
4
=
3
3
2
．
故答案為：
3
3
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)最值，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)腜n作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1）．設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（I）求a1，a2，a3的值；
（II）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（III）設(shè)△PiQiQi+1（i∈N*）和面積為Si，記f(n)=
n
i=1
Si，求證f(n)＜
1
6
.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

加試題：已知曲線C：y=
1
x
(x＞0)，過(guò)P1（1，0）作y軸的平行線交曲線C于Q1，過(guò)Q1作曲線C的切線與x軸交于P2，過(guò)P2作與y軸平行的直線交曲線C于Q2，照此下去，得到點(diǎn)列P1，P2，…，和Q1，Q2，…，設(shè)|
PnQn
|=an，
2
|
QnQn+1
|=bn(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：b1+b2+…+bn＞2n-2-n；
（3）求證：曲線C與它在點(diǎn)Qn處的切線，以及直線Pn+1Qn+1所圍成的平面圖形的面積與正整數(shù)n的值無(wú)關(guān)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
在點(diǎn)P（1，1）處的切線與x軸交于點(diǎn)Q1，過(guò)點(diǎn)Q1作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P1，曲線C在點(diǎn)P1處的切線與x軸交于點(diǎn)Q2，過(guò)點(diǎn)Q2作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P2，…，依次得到一系列點(diǎn)P1、P2、…、Pn，設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設(shè)直線OPn的斜率為kn，求數(shù)列{nkn}的前n項(xiàng)和Sn，并證明Sn＜
4
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•南京二模）如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點(diǎn)Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點(diǎn)Pn，再?gòu)狞c(diǎn)Pn作y軸的垂線，交C于點(diǎn)Qn+1（xn+1，yn+1），設(shè)x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（Ⅰ）求Q1，Q2的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn＜
1
3
．

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