Question

 已知函數(shù)f(x)＝x³＋2bx²＋cx－2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y＝5x－10.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量x的值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1)由已知，得切點(diǎn)為(2,0)，故有f(2)＝0，

即4b＋c＋3＝0，①

f′(x)＝3＋4＋c，由已知，得f′(2)＝12＋8b＋c＝5.即8b＋c＋7＝0.②

聯(lián)立①、②，解得b＝－1，c＝1，

于是函數(shù)解析式為f(x)＝－2＋x－2.

(2)g(x)＝f(x)＋mx＝－2＋x－2＋mx，g′(x)＝3－4x＋1＋，令g′(x)＝0.

當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，Δ≥0，方程3－4x＋1＋＝0有實(shí)根，

由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.

①當(dāng)m＝1時(shí)，g′(x)＝0有實(shí)根x＝，在x＝左右兩側(cè)均有g(shù)′(x)>0，故函數(shù)g(x)無極值．

②當(dāng)m<1時(shí)，g′(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根，

＝(2－)，＝(2＋)，

當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)、g(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，)		(，)		(，＋∞)
g′(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)	?	極大值	?	極小值	?

故在m∈(－∞，1)時(shí)，函數(shù)g(x)有極值：

當(dāng)x＝(2－)時(shí)，g(x)有極大值；

當(dāng)x＝(2＋)時(shí)，g(x)有極小值．