Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C 的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫(xiě)出直線(xiàn)l的普通方程及圓C 的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)l上的，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)，使P 到圓心C 的距離最�。�

Answer 1

分析 （1）由已知得t=x-3，從而y=$\sqrt{3}（x-3）$，由此能求出直線(xiàn)l的普通方程；由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）圓C圓心坐標(biāo)C（0，$\sqrt{3}$），設(shè)P（3+t，$\sqrt{3}t$），由此利用兩點(diǎn)間距離公式能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，使P到圓心C 的距離最小．

解答 解：（1）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，
∴t=x-3，∴y=$\sqrt{3}（x-3）$，
整理得直線(xiàn)l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0，
∵$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
（2）圓C：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$的圓心坐標(biāo)C（0，$\sqrt{3}$）．
∵點(diǎn)P在直線(xiàn)l：$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0上，設(shè)P（3+t，$\sqrt{3}t$），
則|PC|=$\sqrt{（3+t）^{2}+（\sqrt{3}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}+12}$，
∴t=0時(shí)，|PC|最小，此時(shí)P（3，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的普通方程及圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查直線(xiàn)上的點(diǎn)到圓心的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．