Question

20．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C 的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標方程；
（2）點P是直線l上的，求點P 的坐標，使P 到圓心C 的距離最�。�

Answer 1

分析 （1）由已知得t=x-3，從而y=$\sqrt{3}（x-3）$，由此能求出直線l的普通方程；由$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，得${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出圓C的直角坐標方程．
（2）圓C圓心坐標C（0，$\sqrt{3}$），設P（3+t，$\sqrt{3}t$），由此利用兩點間距離公式能求出點P的坐標，使P到圓心C 的距離最�。�

解答 解：（1）∵在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，
∴t=x-3，∴y=$\sqrt{3}（x-3）$，
整理得直線l的普通方程為$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0，
∵$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$，
∴圓C的直角坐標方程為：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
（2）圓C：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$的圓心坐標C（0，$\sqrt{3}$）．
∵點P在直線l：$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}$=0上，設P（3+t，$\sqrt{3}t$），
則|PC|=$\sqrt{（3+t）^{2}+（\sqrt{3}t-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{4{t}^{2}+12}$，
∴t=0時，|PC|最小，此時P（3，0）．

點評 本題考查直線的普通方程及圓的直角坐標方程的求法，考查直線上的點到圓心的距離最小的點的坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．