Question

【題目】（1）橢圓C：+=1（a＞b＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2﹣a2．

（2）由（1）類比可得如下真命題：雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，則為定值．請(qǐng)寫出這個(gè)定值（不要求給出解題過(guò)程）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），x0≠±a，依題意，得A（﹣a，0），B（a，0），從而得直線PA的方程，繼而求得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，得到y(tǒng)MyN=，把點(diǎn)P（x0，y0），代入橢圓方程可求得yMyN==b2，從而得=b2﹣a2．

（2）類比（1）的結(jié)論，可得的值．

（1）證明：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），x0≠±a，

依題意，得A（﹣a，0），B（a，0），

∴直線PA的方程為y=（x+a）

令x=0，得yM=

同理得yN=

∴yMyN=，

∵點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C上一點(diǎn)，

∴=1，=（a2﹣），

∴yMyN==b2，

=（a，yN），=（﹣a，yM），

∴=﹣a2+yMyN=b2﹣a2

（2）﹣（a2+b2）