Question

某數(shù)學(xué)老師對(duì)本校2013屆高三學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)按1:200進(jìn)行分層抽樣抽取了20名學(xué)生的成績(jī)，并用莖葉圖記錄分?jǐn)?shù)如圖所示，但部分?jǐn)?shù)據(jù)不小心丟失，同時(shí)得到如下所示的頻率分布表：

分?jǐn)?shù)段（分）	[50,70)	[70,90)	[90,110)	[110,130)	[130,150)	總計(jì)
頻數(shù)				b
頻率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率（分?jǐn)?shù)在[90,150）內(nèi)為及格）：
（2）從成績(jī)?cè)赱100,130)范圍內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選4人，
設(shè)其中成績(jī)?cè)赱100,110)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（1）a=0.1，b=3；4；65%.
（2）分布列為

X	1	2	3	4
P

E(X)=2.2

解析試題分析：（1）由[50,70)范圍的頻數(shù)，計(jì)算出該范圍內(nèi)的頻率a，首先計(jì)算出[70,90)范圍內(nèi)的頻數(shù)，然后得出[80,90)，即可求出[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，計(jì)算出[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，然后除以20就是及格率.（2）寫(xiě)出隨機(jī)變量X的所有可能取值，然后計(jì)算出相應(yīng)的概率，列表即可的分布列，最后根據(jù)期望值公式計(jì)算期望值即可.
試題解析：（1）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[50,70)范圍內(nèi)的有2人，在[110,130) 范圍內(nèi)的有3人，
∴a= b=3；分?jǐn)?shù)在[70,90)內(nèi)的人數(shù)20×0.25=5，結(jié)合莖葉圖可得分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的人數(shù)為2，所以分?jǐn)?shù)在[90,100)范圍內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為4，故數(shù)學(xué)成績(jī)及格的學(xué)生為13人，所以估計(jì)這次考試全校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率為 ×100%=65%.
（2）由莖葉圖可知分?jǐn)?shù)在[100,130)范圍內(nèi)的有7人，分?jǐn)?shù)在[100,110)范圍內(nèi)的有4人，則隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.相應(yīng)的概率為：P(X=1)== ；P(X=2)== ；P(X=3)==；P(X=4)==.
隨機(jī)變量X的分布列為

X	1	2	3	4
P

E(X)=1×+2×+3×+4×=2.2
考點(diǎn)：1.莖葉圖的含義以及頻率和頻數(shù)的計(jì)算；2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.