Question

如圖，AB為圓柱OO₁的母線，BD為圓柱OO₁下底面直徑，AB=BD=2，點C為下底面圓周⊙O上的一點，CD=1．
（1）求三棱錐C-ABD的體積；
（2）求面BAD與面CAD所成二面角的大小；
（3）求BC與AD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）求三棱錐C-ABD的體積，轉(zhuǎn)化為求A-BCD的體積，求出底面面積，和高即可求解．
（2）求面BAD與面CAD所成二面角的大小，先作出二面角的平面角，過B作BE⊥AD，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為點F，證明∠BEF是面ABD與面ACD所成的二面角的平面角，然后求解即可．
（3）求BC與AD所成角的大小，過點D在下底面作DG∥BC交⊙O于點G，則∠GDA為BC與AD所成的角，通過解三角形解答即可．
解答：解：（1）∵AB為圓柱OO₁的母線，∴AB⊥下底面．
∴AB為棱錐A-BCD的高．而點C在⊙O上，
∴△BCD為直角三角形，∠BCD=90°．
∵BD=2，CD=1，∴BC=．
∴V_{三棱錐C-ABD}=V_{三棱錐A-BCD}=××1××2=．

（2）過B作BE⊥AD，垂足為E，過點B作BF⊥AC，垂足為點F，
連接EF．由BD為底面圓的直徑，得BC⊥CD．
∵AB⊥平面BCD，BC⊥CD，
∴AC⊥CD．
而AC∩BC=C，
∴CD⊥平面ABC．
而CD?平面ADC，
∴平面ABC⊥平面ADC，且它們的交線為AC．
∵BF?平面ABC，BF⊥AC，垂足為點F，
∴BF⊥平面ACD．
而BE⊥AD，AD?平面ACD，
∴EF⊥AD．平面ABD∩平面ACD=AD，
∴∠BEF是面ABD與面ACD所成的二面角的平面角．
由BE=AD=，AC=，AB=2，可求出BF=．
∴sin∠BEF===．
∵∠BEF為銳角，∴∠BEF=arcsin．
故所求二面角的大小為arcsin．

（3）過點D在下底面作DG∥BC交⊙O于點G，
則∠GDA為BC與AD所成的角．連接BG、AG，
由BD是⊙O的直徑，得GD⊥BG，則AG⊥DG，BC=GD．
∴cos∠GDA===．
∴∠GDA=arccos．
∴所求BC與AD所成的角的大小為arccos．
點評：本題主要考查直線、平面的位置關(guān)系，考查圓柱的有關(guān)概念，
考查直線、平面所成角的概念及求法，考查空間想象能力和推理能力．