Question

滿足不等式x²-（a+1）x+a＜0的所有整數解之和為27，則實數a的取值范圍是

（7，8]

．

Answer 1

分析：原不等式可化為（x-1）（x-a）＜0，分a=1、a＜1和a＞1三種情況加以討論，可得只有當a＞1時，區(qū)間（1，a）內的整數解為2、3、4、5、6、7能滿足所有整數解之和為27，由此即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：不等式x²-（a+1）x+a＜0即（x-1）（x-a）＜0
①當a=1時，不等式化為（x-1）²＜0，解集是空集，不符合題意；
②當a＜1時，方程（x-1）（x+a）=0的根為x₁=a，x₂=1，且x₁＜x₂
由此可得：不等式的解集是（a，1），不能滿足所有整數解之和為27，不符合題意；
③當a＞1時，方程（x-1）（x-a）=0的根為x₁=1，x₂=a，且x₁＜x₂
由此可得：不等式的解集是（1，a），
∵不等式的所有整數解之和為27，
∴區(qū)間（1，a）內的整數解為2、3、4、5、6、7
可得7＜a≤8，即a∈（7，8]
故答案為：（7，8]

點評：本題給出含有字母參數a的一元二次不等式的解集中所有整數解之和等于27，求參數a的取值范圍，著重考查了一元二次不等式的解法和不等式的基本性質等知識，屬于基礎題．