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已知函數f（x）滿足3f（x）＞xf′（x），f′（-x）=f′（x），則f（x）的零點個數最多有（　�。�
分析：令g（x）=
f(x)
x3
，利用導數法，分析其單調性，可確定f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上至多各有一個零點；由f′（-x）=f′（x），可得函數f（x）為奇函數，得到f（0）=0，綜合討論結果，可得答案．
解答：解：令g（x）=
f(x)
x3
，則g′（x）=
x3f′(x)-3x2f(x)
x6
=
x2[xf′(x)-3 f(x)]
x6

∵3f（x）≥xf′（x），
∴xf′（x）-3f（x）≤0
故x≠0時，g′（x）＜0恒成立
故函數g（x）=
f(x)
x3
在（-∞，0）和（0，+∞）上均為減函數
故g（x）=
f(x)
x3
在（-∞，0）和（0，+∞）上至多各有一個零點；
即f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上至多各有一個零點；
由f′（-x）=f′（x），則f（-x）=-f（x），即函數f（x）為奇函數，故f（0）=0
故f（x）的零點個數最多有3個
故選D
點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，根的存在性及根的個數判斷，難度較大，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數．
（1）當x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設函數h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數m∈Z，且m＞1，試判定函數h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內的零點個數，并作出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數f（x）滿足：當x≥1時，f（x）=f（x-1）；當x＜1時，f（x）=2x，則f（log27）=（　�。�

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