Question

已知z=1+i．
（1）設(shè)ω=z²+3

.

z

-4，求ω的三角形式；
（2）如果

z2+az+b

z2-z+1

=1-i，求實數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把復(fù)數(shù)的具體形式代入所給的z²+3

.

z

-4，根據(jù)乘方和共軛復(fù)數(shù)，算出ω的值，提出復(fù)數(shù)的模長，把代數(shù)形式變化為三角形式．
（2）先進行復(fù)數(shù)的乘除運算，把具體的復(fù)數(shù)的值代入，整理成最簡形式，得到復(fù)數(shù)相等的條件，使得復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，得到關(guān)于a和b的方程組，解方程組即可．

解答：解：（1）由z=1+i，有
ω=z²+3

.

z

-4
=（1+i）²+3

.

(1+i)

-4
=2i+3（1-i）-4=-1-i，
ω的三角形式是

2

(cos

5

4

π+isin

5

4

π)．
（2）由z=1+i，有

z2+az+b

z2-z+1

=

(1+i)2+a(1+i)+b

(1+i)2-(1+i)+1

=

(a+b)+(a+2)i

i

=（a+2）-（a+b）i
由題設(shè)條件知（a+2）-（a+b）i=1-i．
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得

a+2=1 -(a+b)=-1

解得

a=-1 b=2.

點評：本小題考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的三角形式，復(fù)數(shù)的混合運算等基礎(chǔ)知識及運算能力．是一個綜合題，解題的關(guān)鍵是整理過程千萬不要出錯．