在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,且a,b,c成等比數(shù)列.(1)求∠B的范圍;(2)求y=2sin2B+sin(2B+
π6
)的取值范圍.
分析:(1)因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.根據(jù)余弦定理,得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2

由此能求出∠B的范圍.
(2)y=2sin2B+sin(2B+
π
6
)=1-cos2B+sin2Bcos
π
6
+cos2Bsin
π
6
=1+sin(2B-
π
6
).由此能求出y=2sin2B+sin(2B+
π
6
)的取值范圍.
解答:解:(1)因?yàn)閍,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac.
根據(jù)余弦定理,得cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2

又因?yàn)?<B<
π
2
,所以0<B≤
π
3

所以∠B的范圍是(0,
π
3
].
(2)y=2sin2B+sin(2B+
π
6
)=1-cos2B+sin2Bcos
π
6
+cos2Bsin
π
6
,
=1+sin2Bcos
π
6
-cos2Bsin
π
6
=1+sin(2B-
π
6
).
因?yàn)?<B≤
π
3
,所以-
π
6
<2B-
π
6
π
2
,
所以-
1
2
<sin(2B-
π
6
)≤1,所以
1
2
<y≤2.
所以y=2sin2B+sin(2B+
π
6
)的取值范圍是(
1
2
,2].
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列和三角函數(shù)的綜合,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘三角函數(shù)的恒等變換.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a、b、c.滿足2acosC+ccosA=b.則sinA+sinB的最大值是( 。
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面積為10
3
cm2,周長(zhǎng)為20cm,求此三角形的各邊長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
,
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面積S=
3
3
2
,求邊c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,A,B,C為三個(gè)內(nèi)角,若cotA•cotB>1,則△ABC是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知y=f(x)函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的:
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個(gè)單位;
②將①中的圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
2
;
③將②中的圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍.
(1)求f(x)的周期和對(duì)稱軸;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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