Question

11．已知函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{7}{4}π}）+cos（{x-\frac{3}{4}π}）$
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，求$f（{2β-\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用誘導公式和輔助角公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，結合三角函數(shù)的圖象和性質，求出f（x）的最小值．
（2）求出$f（{2β-\frac{π}{4}}）$化簡，利用cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，構造出α，β的關系．從而可以求值．

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（{x+\frac{7}{4}π}）+cos（{x-\frac{3}{4}π}）$
化解：f（x）=sin（2π-$\frac{π}{4}$+x）+cos（-π+$\frac{π}{4}$+x）=-sin（$\frac{π}{4}$-x）-cos（$\frac{π}{4}$+x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
（1）函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$；
∵sin的最小值為-1，
∴f（x）的最小值為：-2．
（2）∵f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
∴$f（{2β-\frac{π}{4}}）$=2sin（2β-$\frac{π}{2}$）=-2cos2β．
又∵cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，
∵0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}$＜β-α＜0，0＜β+α＜π，
∴sin（β-α）=-$\frac{3}{5}$，cos（β+α）=$\frac{3}{5}$
∵cos2β=cos[（β-α）+（β+α）]=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$
故得$f（{2β-\frac{π}{4}}）$=-cos2β=-$\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，兩角和與差的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．