各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q都有
(1)當時,求通項an;
(2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個正整數(shù)n,都有
【答案】分析:(1)由,令m=1,p=2,q=n-1,并將代入化簡,可得數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,從而可求數(shù)列的通項;
(2)記為bm+n,則,考察函數(shù) ,則在定義域上有,從而對n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立,結(jié)合,即可得證.
解答:(1)解:由
代入化簡得
所以,
故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,從而,即
(2)證明:由題設(shè)的值僅與m+n有關(guān),記為bm+n,則
考察函數(shù) ,則在定義域上有
故對n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立
又 ,
注意到,解上式得,
,即有
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查賦值法的運用,考查不等式的證明,考查學(xué)生分析解決問題的能力,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)單調(diào)遞增函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且對任意的正實數(shù)x,y有f(xy)=f(x)+f(y),且f(
1
2
)=-1

(1)一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足:f(sn)=f(an)+f(an+1)-1其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在(1)的條件下,是否存在正數(shù)M使下列不等式:2n•a1a2…an≥M
2n+1
(2a1-1)(2a2-1)…(2an-1)
對一切n∈N*成立?若存在,求出M的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,對任意n∈N,有2Sn=2p
a
2
n
+pan-p(p∈R).
(1)求常數(shù)p的值;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn,an,
1
2
成等差數(shù)列,
(1)求a1,a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若bn=4-2n(n∈N*),設(shè)cn=
bn
an
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且點(an,Sn)在函數(shù)y=
1
2
x2+
1
2
x-3
的圖象上,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=nan(n∈N*),求證:
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•長寧區(qū)二模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和sn滿足s1>1,且6sn=(an+1)(an+2)(n為正整數(shù)).
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an,n為偶數(shù)
2an,n為奇數(shù)
,求Tn=b1+b2+…+bn;
(3)設(shè)Cn=
bn+1
bn
,(n為正整數(shù))
,問是否存在正整數(shù)N,使得n>N時恒有Cn>2008成立?若存在,請求出所有N的范圍;若不存在,請說明理由.

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