Question

10．已知F₁和F₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F₂AB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 連接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，F(xiàn)₂F₁=2c，AF₁=c，AF₂=$\sqrt{3}$c，由雙曲線的定義可知：AF₂-AF₁=$\sqrt{3}$c-c=2a，變形可得離心率的值．

解答 解：連接AF₁，可得∠AF₂F₁=30°，∠F₁AF₂=90°，
由焦距的意義可知F₂F₁=2c，AF₁=c，
由勾股定理可知AF₂=$\sqrt{3}$c，
由雙曲線的定義可知：AF₂-AF₁=2a，即$\sqrt{3}$c-c=2a，
變形可得雙曲線的離心率$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}$+1
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，涉及直角三角形的性質(zhì)，屬中檔題．