Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-3x²+bx，已知不等式

f(x)

x

＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求a、b的值．
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

f(x)

x2

，x∈[1，2]，求函數(shù)y=g（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得到方程ax²-3x+b=0的兩根分別為1和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于a、b的方程，解之即可得到實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）化簡(jiǎn)函數(shù)g（x），得g(x)=x+

2

x

-3，利用基本不等式得x+

2

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)取“=”號(hào)．由此即可求出函數(shù)y=g（x）的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．

解答：解：（1）∵不等式

f(x)

x

＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
∴1和2是方程ax²-3x+b=0的根．…（2分）
由根與系數(shù)的關(guān)系，得

1•2= b a 1+2= 3 a

，解得

a=1 b=2

；…（6分）
（2）∵x∈[1，2]為正數(shù)，
∴函數(shù)g(x)=

f(x)

x2

=

x2-3x+2

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)取“=”號(hào)．…（11分）
注意到

2

∈[1，2]，可得函數(shù)y=g（x）的最小值是2

2

-3，對(duì)應(yīng)x的值是

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于三次多項(xiàng)式函數(shù)的不等式的解集，求函數(shù)的表達(dá)式，并依此求另一個(gè)函數(shù)的最值．著重考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、運(yùn)用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．