Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，f（x）=ln（x²-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

Answer 1

分析：由f（x）=ln（x²-x+1）=0，先求出當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用周期性和奇偶性判斷f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴在[0，6]上必有f（0）=0．
當(dāng)x∈（0，

3

2

）時(shí)，由f（x）=ln（x²-x+1）=0得x²-x+1=1，
即x²-x=0．解得x=1．
∵f（x-3）=f（x），
∴函數(shù)是周期為3的奇函數(shù)，
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)0，3，6．
又f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此時(shí)有1，2，4，5四個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x=

3

2

時(shí)，f（

3

2

）=f（

3

2

-3）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

），
∴f（

3

2

）=0，
即f（

3

2

）=f（

3

2

+3）=f（

9

2

）=0，
此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)

3

2

，

9

2

．
∴共有9個(gè)零點(diǎn)．
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，利用函數(shù)的周期性和奇偶性，分別判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，綜合性較強(qiáng)．