Question

（本題滿分16分）

已知函數,.

（Ⅰ）若函數在時取得極值，求的值；

（Ⅱ）當時，求函數的單調區(qū)間.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）當a<-1時，函數f(x)的單調減區(qū)間為，

函數的單調增區(qū)間為.

【解析】解：（Ⅰ）

.            ……3分

依題意得, 經檢驗符合題意.      ……6分

（Ⅱ），設，

（1）當a=0時，f(x)=-e，f(x)在R上為單調減函數.  ……8分

（2）當a<0時，方程=0的判別式為，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

1°當a=-1時，，

即，

且f’(x)在x=-1兩側同號，僅在x=-1時等于，

則f(x)在R上為單調減函數.                ……10分

2°當-1<a<0時，，則恒成立，

即f’(x)<0恒成立，則f(x)在R上為單調減函數.   ……11分

3°a<-1時，，令g(x)=0，

方程有兩個不相等的實數根

，

作差可知，

則當時，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調減函數；

當時，g(x)>0，f’(x)>0，

F(x)在上為單調增函數；

當時，g(x)<0，f’(x)<0，f(x)在上為單調減函數.  ……15分

綜上所述，當時，函數f(x)的單調減區(qū)間為R；當a<-1時，函數f(x)的單調減區(qū)間為，，函數的單調增區(qū)間為.       ……16分

思路分析：第一問利用依題意得, 經檢驗符合題意.

第二問中，，設，

（1）當a=0時，f(x)=-e，f(x)在R上為單調減函數.  ……8分

（2）當a<0時，方程=0的判別式為，

令, 解得a=0（舍去）或a=-1.

構造函數討論單調性。