Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$，且f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求a和b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關系即可求a和b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=ax+$\frac{x}$，且f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$．，
知$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a+\frac{2}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1．…（2分）
（2）由（1）知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，故函數(shù)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱．（3分）
又f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）．
所以，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)．…（4分）
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$  （7分）
當0＜x₁＜x₂＜1時，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，故（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
所以，f（x₁）＞f（x₂），從而函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)；…（9分）
當1≤x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，故（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），從而函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；…（11分）
綜上可知，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關鍵．