如下圖所示,作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓,在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,求前n個內(nèi)切圓的面積和.

答案：
解析：

 解:設(shè)第n個正三角形的內(nèi)切圓的半徑為an.

因?yàn)閺牡?個正三角形開始,每一個正三角形的邊長是前一個正三角形邊長的,每一個正三角形內(nèi)切圓的半徑也是前一個正三角形內(nèi)切圓半徑的,故a1=atan30°=a×=a,a2=a1,…,an=an-1.

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公比為的等比數(shù)列.∴an=×()n-1a.

設(shè)前n個內(nèi)切圓的面積和為Sn,則

Sn=π(a12+a22+…+an2)=πa12［1+()2+()2+()2］=πa12［1+()+()2+…+()n-1］=×(1-)π=(1-)π.

答:前n個內(nèi)切圓的面積和是(1-)π.


練習(xí)冊系列答案
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如下圖所示,作邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓,在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后,再作新三角形的內(nèi)切圓.如此下去,求前n個內(nèi)切圓的面積和.

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