Question

已知α,β∈(0,),且sin(α+β)=2sinα,求證:α＜β.

Answer 1

證明:假設(shè)α＜β不成立,則α≥β.

(1)若α=β,由sin(α+β)=2sinα?sin2α=2sinα,從而cosα=1,這與α∈(0,)矛盾.

(2)若α＞β,則sinα·cosβ+cosα·sinβ=2sinα,

即cosα·sinβ=sinα(2-cosβ),

.

∵α＞β,∴sinα＞sinβ.

從而＞1,

即cosα＞2-cosβ?cosα+cosβ＞2,這是不可能的,表明α＞β不成立,由(1)(2)知結(jié)論成立.