如圖，已知直線L：x=my+!過橢圓C：=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線G：x=a2上的射影依次為點D，K，E．
（1）若拋物線x2=4y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）連接AE，BD，證明：當m變化時，直線AE、BD相交于一定點．

【答案】分析：（1）易知，c=1，結(jié)合a2=b2+c2可求橢圓的方程
（2）要證當m變化時，直線AE、BD相交于一定點．先找m去特殊值（m=0）時AE與BD相交FK中點故猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點然后只要證明AN，EN 的斜率相等，從而可得A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線即可
解答：解：（1）易知，c=1，a2=b2+c2=4
∴橢圓的方程為（6分）
（2）∵F（1，0）
當m=0時，直線L⊥ox軸，則ABED為矩形，
由對稱性知，AE與BD相交FK中點N，且
猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點（8分）
證明：設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2）E（a2，y2）D（a2，y1）
當m變化時首先AE過定點N
即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）
     

∵=
∴kAN=KEN∴A、N、E三點共線
同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點（14分）
點評：本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，而定義的靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯(lián)立方程組，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進行求解
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直線l：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點F，拋物線：x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點M，且
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，當m變化時，探求λ1+λ2的值是否為定值？若是，求出λ1+λ2的值，否則，說明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試證明當m變化時，直線AE與BD相交于定點N(
5
2
，0)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線l：x=my+4（m∈R）與x軸交于點P，交拋物線y2=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，記直線AQ，BQ的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）若P為拋物線的焦點，求a的值，并確定拋物線的準線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系．
（Ⅱ）試證明：k1+k2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點，點A，F(xiàn)，B在直線G：x=a2上的射影依次為點D，K，E．
（1）若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程；
（2）連接AE，BD，證明：當m變化時，直線AE、BD相交于一定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•樂山二模）如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線G；x=a2上的射影依次為點D、K、E，若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線L交y軸于點M，
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，當M變化時，求λ1+λ2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直線L：x=my+1過橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點F，且交橢圓C于A、B兩點，點A、B在直線G：x=a2上的射影依次為點D、E．
（1）若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C 的上頂點，求橢圓C的方程；（2）（理科生做）連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE、BD是否相交于一定點N？若交于定點N，請求出N點的坐標，并給予證明；
否則說明理由．
（文科生做）若N(
a2+1
2
，0)為x軸上一點，求證：
AN
=λ
NE
．

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