Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示．
（Ⅰ）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；
（Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，由此能求出乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差．
（Ⅱ）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10．分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求得對應(yīng)的概率．由此能求出這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，
所以平均數(shù)為

x

=

8+8+9+10

4

=

35

4

；
方差為

s

2

=

1

4

[(8-

35

4

)

2

+(8-

35

4

)

2

+(9-

35

4

)

2

+(10-

35

4

)2]=

11

16

．
（Ⅱ）當(dāng)X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9，9，11，11；
乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9，8，9，10．
分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4=16種可能的結(jié)果，
這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17，18，19，20，21，
事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，
因此P（Y=17）=

2

16

=

1

8

．
事件“Y=18”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹9棵”，所以該事件有4種可能的結(jié)果，
因此P（Y=18）=

4

16

=

1

4

．
事件“Y=19”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹10棵；或甲組選出的同學(xué)植樹11棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，
所以該事件有2+2=4種可能的結(jié)果，
因此P（Y=19）=

4

16

=

1

4

．
事件“Y=20”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹11棵，乙組選出的同學(xué)植樹9棵”，所以該事件有4種可能的結(jié)果，
因此P（Y=20）=

4

16

=

1

4

．
事件“Y=21”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹11棵，乙組選出的同學(xué)植樹10棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，
因此P（Y=21）=）=

2

16

=

1

8

．
所以隨機變量Y的分布列為：

Y	17	18	19	20	21
P	1 8	1 4	1 4	1 4	1 8

EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）
=17×

1

8

+18×

1

4

+19×

1

4

+20×

1

4

+21×

1

8

=19．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意莖葉圖的性質(zhì)和應(yīng)用．