Question

1．函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（1）在[1，4]上是減函數(shù)，求a的范圍；
（2）存在減區(qū)間，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]恒成立，令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可；
（2）解法1：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為ax²+2x-1＞0有正的實(shí)數(shù)解，由方程的觀點(diǎn)去求解；
解法2：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在（0，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解，求其值域即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，（x＞0）
由題意可知f′（x）＜0在[1，4]恒成立．
即1-ax²-2x＜0在[1，4]恒成立
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在[1，4]恒成立，
令h（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$，則h（x）=（$\frac{1}{x}$-1）²-1≥-1，
而h（x）在[1，4]單調(diào)遞減，h（x）_max=h（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{7}{16}$，
∴a＞-$\frac{7}{16}$；
（2）解法1：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，
由題意知f′（x）＜0有實(shí)數(shù)解，
∵x＞0，
∴ax²+2x-1＞0有正的實(shí)數(shù)解．
當(dāng)a≥0時(shí)，顯然滿足；
當(dāng)a＜0時(shí)，只要△=4+4a＞0，
∴-1＜a＜0，
綜上所述，a＞-1．
解法2：f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2=$\frac{1-{ax}^{2}-2x}{x}$，
由題意可知f′（x）＜0在（0，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解．
即1-ax²-2x＜0在（0，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解．
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$在（0，+∞）內(nèi)有實(shí)數(shù)解．
∵x∈（0，+∞）時(shí)，$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1≥-1，
∴a＞-1．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，可從方程的觀點(diǎn)與函數(shù)的觀點(diǎn)解答，屬于中檔題．