Question

如圖，四邊形是正方形，平面，

，，，， 分別

為，，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

.

 (1）證明：,分別為，的中點(diǎn)，

.   

又平面，平面，  

平面.    

（2）解:平面，，平面

平面，.

 四邊形是正方形，.

以為原點(diǎn),分別以直線為軸, 軸,軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

,

，，，，，,

,.

，， 分別為，，的中點(diǎn)，

，，,,

（解法一)設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,

即，令，得.             設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,

即，令，得.         

所以==.        

所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.       

（解法二) ，,

是平面一個(gè)法向量.      

，,

是平面平面一個(gè)法向量.      

平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.     

（解法三) 延長(zhǎng)到使得連

，，

四邊形是平行四邊形，

四邊形是正方形，

，分別為，的中點(diǎn)，

平面，平面， 平面.     

平面平面平面

故平面與平面所成銳二面角與二面角相等.     

平面平面

平面是二面角的平面角.                     平面與平面所成銳二面角的大小為（或）.