Question

集合M是直角坐標(biāo)平面內(nèi)方程2kx+9y-k²=0（k∈R）的直線的集合，集合S是滿足以下條件的點的集合：對于S中的每一個點，在集合M中有且僅有一條直線通過該點．
（Ⅰ）判斷下列各點是否為集合S中的點：A（1，0），B（-3，-1），C（0，-1）；
（Ⅱ）求集合S中的點的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)P，Q是（Ⅱ）是軌跡上的兩點，線段PQ的中點到x軸的距離為3，求線段PQ長的最大值．

Answer 1

考點：軌跡方程,元素與集合關(guān)系的判斷,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計算題,新定義,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義，分別將點的坐標(biāo)代入，檢驗方程根的情況，從而判斷；
（Ⅱ）任取M（x₀，y₀）∈S，依題意得，關(guān)于實數(shù)k的方程2kx₀+9y₀-k²=0有且只有一個實數(shù)根，則△=4x₀²+36y₀=0，化簡即可得到軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設(shè)PQ：y=mx+n，將它代入拋物線方程x²=-9y，得x²+9mx+9n=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，由條件得到m，n的關(guān)系，確定n的范圍，再由弦長公式，化簡整理得到n的二次函數(shù)，配方，即可得到最小值．

解答： 解：（Ⅰ）將x=1，y=0代入直線方程，得k²-2k=0，
由于此方程有兩個不同的實數(shù)根，對應(yīng)M中的兩條直線，則A（1，0）不是集合S中的點；
將x=-3，y=-1代入直線方程，得k²+6k+9=0，
方程有且只有一個實根，M中一條直線，則B（-3，-1）是S中的點；
將x=0，y=-1代入直線方程，得k²+9=0，方程無實根，則C（0，-1）不是S中的點．
（Ⅱ）任取M（x₀，y₀）∈S，
依題意得，關(guān)于實數(shù)k的方程2kx₀+9y₀-k²=0有且只有一個實數(shù)根，
則方程2kx₀+9y₀-k²=0的判別式△=4x₀²+36y₀=0，
則x₀²=-9y₀，即S中的點的軌跡方程為x²=-9y；
（Ⅲ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
依題意知，直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=mx+n，
將它代入拋物線方程x²=-9y，得x²+9mx+9n=0，
則x₁+x₂=-9m，x₁x₂=9n，依題意得，△＞0，且

y1+y2

2

=

m(x1+x2)

2

+n，
即有9m²-4n＞0①，9m²=2n+6，②，由②得n≥-3，
②代入①得，n＜3，則-3≤n＜3．
由于|PQ|²=（1+m²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+

2n+6

9

）（81×

2n+6

9

-36n）=（2n+15）（6-2n）
=-4（n+

9

4

）²+

441

4

．
又-

9

4

∈[-3，3），
則當(dāng)n=-

9

4

時，|PQ|有最大值

21

2

．

點評：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，注意判別式的運(yùn)用，考查中點坐標(biāo)公式和配方求最值的方法，屬于難題．