Question

已知方程|4x+

9

x

-12|=m（m＞0，m∈R）只有兩個不等的實數(shù)根，則m的取值范圍是

（0，24）

．

Answer 1

分析：分x＞0和x＜0兩種情況化簡函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|的解析式，由題意可得，函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|的圖象和直線y=m（m＞0，m∈R）有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．

解答：解：由于函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|的定義域為{x|x≠0}，當(dāng)x＞0時，由于4x+

9

x

≥12，當(dāng)且僅當(dāng)x=

3

2

時等號成立，
故函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|=4x+

9

x

-12，它在（0，

3

2

）上是減函數(shù)，在（

3

2

，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)x＜0時，由于 -4x+

9

-x

≥12，∴4x+

9

x

≤-12，當(dāng)且僅當(dāng)x=-

3

2

時等號成立，故函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|=-4x-

9

x

+12≥24．
且函數(shù)y=-4x-

9

x

+12在（-∞，-

3

2

）上是減函數(shù)，在（-

3

2

，0）上是增函數(shù)．
由題意可得，函數(shù)y=|4x+

9

x

-12|的圖象和直線y=m（m＞0，m∈R）有2個交點(diǎn)，如圖所示：
故 0＜m＜24，故m的取值范圍是（0，24），
故答案為 （0，24）．

點(diǎn)評：本題主要考查根的存在性以及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．