Question

已知函數(shù)的最小正周期為3π，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cosB+cos（A-C），求∠C及sinA的值．

Answer 1

解：（1）已知函數(shù)=sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+）-1 的最小正周期為3π，
∴=3π，ω=，∴f（x）=2sin（x+）-1．
令 2kπ-≤（x+）≤2kπ+，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+，k∈z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ-π，3kπ+]，k∈z．
（2）在△ABC中，由f（C）=2sin（C+）-1=1，可得sin（C+）=1，∴C=，A+B=．
再由2sin²B=cosB+cos（A-C），可得 2sin²B=cosB+cos（A-）=cosB+sinA=2sinA，∴2cos²A=2sinA，即 1-sin²A=sinA．
解得 sinA=，再由A為銳角可得sinA=．
綜上可得，C=，sinA=．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2sin（ωx+）-1，根據(jù)周期求得ω的值，可得f（x）的解析式2sin（x+）-1，令 2kπ-≤（x+）≤2kπ+，k∈z，
求得x的范圍，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）在△ABC中，由f（C）=1求得sin（C+）=1，可得 C=，A+B=．再由2sin²B=cosB+cos（A-C）和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式求得sinA的值．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，屬于中檔題．