Question

（08年濰坊市質(zhì)檢理）  （12分）已知實(shí)數(shù)m>1，定點(diǎn)A（－m，0），B（m，0），S為一動點(diǎn)，點(diǎn)S與A，B兩點(diǎn)連線斜率之積為

   （1）求動點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線；

   （2）當(dāng)時(shí)，問t取何值時(shí)，直線與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)？

   （3）在（2）的條件下，證明：直線l上橫坐標(biāo)小于2的點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線x=2的距離之比的最小值等于曲線C的離心率.

Answer 1

解析：（1）設(shè).

    由題意得……………………2分

    ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項(xiàng)點(diǎn)），其中長軸長為2，短軸長為2.………………………………………………4分

   （2）當(dāng)m=時(shí)，曲線C的方程為

    由………………6分

    令

    此時(shí)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).………………………………8分

   （3）直線l方程為2x－y+3=0.

    設(shè)點(diǎn)表示P到點(diǎn)（1，0）的距離，d₂表示P到直線x=2的距離，

    則

    …………………………10分

    令

    則

    令……………………………………………………12分

   

    ∴的最小值等于橢圓的離心率.……………………………………14分