Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．則異面直線PB與CD所成角的余弦值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、

  6

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：連結(jié)BO，由已知條件得四邊形OBCD是平行四邊形，推導(dǎo)出∠PBO是異面直線PB與CD所成的角，由此能求出異面直線PB與CD所成的角的余弦值．

解答： 解：連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，
BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，
所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以O(shè)B∥DC
在△PAD中PA=PD，O為AD中點，
所以PO⊥AD
又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD；
所以PO⊥OB，∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角
因為AD=2AB=2BC=2，
在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，
所以O(shè)B=

2

，
在Rt△POA中，因為AP=

2

，AO=1，
所以O(shè)P=1，
在Rt△PBO中，PB=

OP2+OB2

=

3

，
cos∠PBO=

OB

PB

=

2

3

=

6

3

，
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為

6

3

．
故選：C．

點評：本題考查異面直角所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．