Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（I ）求g（x）=的單調區(qū)間與極大值；
（II ）任取兩個不等的正數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存在x₀＞0使f′（x₀）=成立，求證：x₁＜x₀＜x₂
（III）己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=（1+）a_n+（n∈N₊），求證：a_n＜（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．
則有==ln（x+1）-x，
此函數(shù)的定義域為（-1，+∞）．
．
故當x∈（-1，0）時，g^′（x）＞0；當x∈（0，+∞）時，g^′（x）＜0．
所以g（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，0），單調遞減區(qū)間是（0，+∞），
故g（x）的極大值是g（0）=0；
（Ⅱ）證明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f^′（x）=lnx+1，
所以，
于是=
=，
令（t＞1），則，
因為t-1＞0，只需證明lnt-t+1＜0．
令s（t）=lnt-t+1，則，
∴s（t）在t∈（1，+∞）上遞減，所以s（t）＜s（1）=0，
于是h（t）＜0，即lnx₀＜lnx₂，故x₀＜x₂．
同理可證x₁＜x₀，故x₁＜x₀＜x₂．
（Ⅲ）證明：因為a₁=1，，所以{a_n}單調遞增，a_n≥1．
于是=，
所以（*）．
由（Ⅰ）知當x＞0時，ln（1+x）＜x．
所以（*）式變?yōu)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/493370.png' />．
即（k∈N，k≥2），
令k=2，3，…，n，這n-1個式子相加得


=
=
=．
即，
所以．
分析：（Ⅰ）由f（x）求出f（x+1），代入g（x），對函數(shù)g（x）求導后利用導函數(shù)的符號求出函數(shù)g（x）在定義域內的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值；
（Ⅱ）求出f^′（x₀），代入f′（x₀）=后把lnx₀用lnx₁，lnx₂表示，再把lnx₀與lnx₂作差后構造輔助函數(shù)，求導后得到構造的輔助函數(shù)的最大值小于0，從而得到lnx₀＜lnx₂，運用同樣的辦法得到lnx₁＜lnx₀，最后得到要證的結論；
（Ⅲ）由給出的遞推式a_n+1=（1+）a_n+說明數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，根據(jù)a₁=1，得到a_n≥1，由此把遞推式a_n+1=（1+）a_n+放大得到，結合（Ⅰ）中的ln（1+x）＜x得到，分別取n=1，2，3，…，n-1，得到n個式子后累加即可證得結論．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性和極值證明不等式，訓練了累加法求數(shù)列的通項公式，考查了利用放縮法證明不等式，是一道難度較大的綜合題型．