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當x，y∈R+時，不等式(x+
1
y
)•(
1
x
+4y)≥λ恒成立，則實數λ的最大值為
9
9
．
分析：先將代數式化簡，再利用基本不等式求最值，從而可求實數λ的最大值．
解答：解：(x+
1
y
)•(
1
x
+4y)=5+4xy+
1
xy

∵x，y∈R+，
∴5+4xy+
1
xy
≥5+4=9
∴(x+
1
y
)•(
1
x
+4y)≥ 9
∴不等式(x+
1
y
)•(
1
x
+4y)≥λ恒成立，實數λ的最大值為9
故答案為：9
點評：本題重點考查基本不等式的運用，解題的關鍵是先將代數式化簡，再利用基本不等式求最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知對任意的實數m，直線x+y+m=0都不與曲線f（x）=x3-3ax（a∈R）相切．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）當x∈[-1，1]時，函數y=f（x）的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于
14
．試證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知曲線f（x）=x3-3ax（a∈R），直線y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）當a=
4
3
時，且曲線f（x）與直線有三個交點，求m的取值范圍
（Ⅱ）若對任意的實數m，直線與曲線都不相切，
（�。┰嚽骯的取值范圍；
（ⅱ）當x∈[-1，1]時，曲線f（x）的圖象上是否存在一點P，使得點P到x軸的距離不小于
1
4
．試證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數列{an}滿足f（an+1）=
1f(-2-an)
（n∈N*）
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數M，當n＞M時，a n＞f（0）恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．數列{an}滿足f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)．
（Ⅰ）求f（0）的值，判斷并證明函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得點（t，as）、（s，at）都在直線y=kx-1上，試判斷是否存在自然數M，當n＞M時，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若a1=f（0），不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
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(1+logf(1)x)對不小于2的正整數恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)二模）已知函數y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數x，對于給定的非零常數m，總存在非零常數T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類增周期函數，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類周期函數，周期為T．
（1）已知函數f（x）=-x2+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數，求實數a的取值范圍；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調遞增函數，當x∈[0，1）時，f（x）=2x，求實數m的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知當x∈[0，4]時，函數f（x）=x2-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數，且y=f（x）的值域為一個閉區(qū)間，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數k，使函數f（x）=coskx是R上的周期為T的T級類周期函數，若存在，求出實數k和T的值，若不存在，說明理由．

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