Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₄=16，a₂²=a₁a₅．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由S₄=16，a₂²=a₁a₅．可得

4a1+ 4×3 2 d=16 (a1+d)2=a1(a1+4d)

，解得即可；
（2）由（1）可得：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵S₄=16，a₂²=a₁a₅．
∴

4a1+ 4×3 2 d=16 (a1+d)2=a1(a1+4d)

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）可得：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．