Question

已知二階矩陣A=

a 3 c 1

，矩陣A屬于特征值λ₁=-1的一個(gè)特征向量為α₁=

.

1 -1

.

．
（1）求矩陣A的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；
（2）若向量m=

.

-1 4

.

，求A⁴m．

Answer 1

分析：（1）由題意知：A

α

₁=λ

α

₁（

α

₁為特征向量，λ為特征值），利用矩陣的乘法法則化簡(jiǎn)求出a與c的值，代入矩陣A即可得A，再根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式解出矩陣A的另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量；
（2）根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式求出矩陣A的所有特征值，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量

m

，利用矩陣的乘法法則求出

m

=-10α₁+3α₂②，代入A⁴

m

中求出值即可．

解答：解：（1）由題知：

a 3 c 1

1′ -1′

=-

1′ -1′

，即a-3=-1，c-1=1，解得a=2，b=2，
所以A=

2 3 2 1

；
矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=

.

λ-2 3 2 λ-1

.

=λ²-3λ-4=0，
得λ₁=-1，λ₂=4，
當(dāng)λ₁=-1時(shí)，α₁=

1′ -1′

，
當(dāng)λ₂=4時(shí)，將λ₂=4代入特征方程組，得

2x+3y=0 2x+3y=0

⇒2x+3y=0．
可取α₂=

3′ -2′

為屬于特征值λ₂=4的一個(gè)特征向量．（8分）
（2）由

m

=pα₁+qα₂=p

1′ -1′

+q

3′ -2′

=

-1′ 4′

，
得：

p+3q=-1 -p-2q=4

解得

p=-10 q=3

，則

m

=-10α₁+3α₂
∴A⁴

m

=A⁴（-10α₁+3α₂）=-10（A⁴α₁）+3A⁴α₂
=-10（ λ14α₁）+3

λ

4 2

α₂=-10×1×

1′ -1′

+3×256×

3′ -2′

=

2294′ -1526′

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求矩陣，考查特征值與特征向量，理解特征值、特征向量的定義是關(guān)鍵．