Question

20．如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若三棱錐P-AEC的體積為1，求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于點O，連接OE，則OE∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
（Ⅱ）推導出OB⊥OC，以O為原點建立空間直角坐標系，PA∥z軸，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）如圖，連接BD交AC于點O，連接OE，
∵點O，E分別為BD，PD的中點，∴OE∥PB．
又PB?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PB∥平面AEC．…（4分）
解：（Ⅱ）${V_{三棱錐P-AEC}}={V_{三棱錐P-ACD}}-{V_{三棱錐E-ACD}}=\frac{1}{2}{V_{三棱錐P-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}\;•\;{S_{△ACD}}\;•\;PA$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin\frac{π}{3}\;•\;PA=1$，
∴$PA=2\sqrt{3}$．…（7分）
∵底面四邊形為菱形，$AB=2，\;\;∠ABC=\frac{π}{3}$，
∴$OA=OC=1，\;\;OB=OD=\sqrt{3}$，OB⊥OC．
如圖，以O為原點建立空間直角坐標系，PA∥z軸，
則$O（0，\;\;0，\;\;0），\;\;A（0，\;\;-1，\;\;0），\;\;B（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;0），\;\;C（0，\;\;1，\;\;0），\;\;P（0，\;\;-1，\;\;2\sqrt{3}）$．
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$，
∵$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，\;\;1，\;\;0），\;\;\overrightarrow{PC}=（0，\;\;2，\;\;-2\sqrt{3}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}\;•\;\overrightarrow n=-\sqrt{3}x+y=0\\ \overrightarrow{PC}\;•\;\overrightarrow n=2y-2\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，∴取x=1，得$\overrightarrow n=（1，\;\;\sqrt{3}，\;\;1）$．
∵PA⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，∴OB⊥PA．
又∵OB⊥AC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
∴OB⊥平面PAC，
∴平面PAC的法向量為$\overrightarrow{OB}=（\sqrt{3}，\;\;0，\;\;0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由圖可知二面角A-PC-B的平面角是銳角，
∴二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．