Question

我們把離心率為e=

5 +1

2

的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）稱為黃金雙曲線．如圖，A₁，A₂是右圖雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，B₁，B₂是虛軸的頂點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左右焦點(diǎn)，M，N在雙曲線上且過右焦點(diǎn)F₂，并且MN⊥x軸，給出以下幾個(gè)說法：
①雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1是黃金雙曲線；
②若b²=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線；
③如圖，若∠F₁B₁A₂=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線．
其中正確的是（　　）

• A、①②④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①由雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1，可得離心率e=

1+ 5 +1 2

，即可判斷出該雙曲線是否是黃金雙曲線；
②由b²=ac，可得c²-a²-ac=0，化為e²-e-1=0，又e＞1，解得e，即可判斷出該雙曲線是否是黃金雙曲線；
③如圖，由∠F₁B₁A₂=90°，可得|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，可得b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化為c²-ac-a²=0，即可判斷出該雙曲線是否是黃金雙曲線；
④如圖，由∠MON=90°，可得MN⊥x軸，|MF2|=

b2

a

，可得△MOF₂是等腰直角三角形，得到c=

b2

a

，即可判斷出該雙曲線是否是黃金雙曲線．

解答：解：①由雙曲線x²-

2y2

5 +1

=1，可得離心率e=

1+ 5 +1 2

=

6+2 5 4

=

5 +1

2

，故該雙曲線是黃金雙曲線；
②∵b²=ac，∴c²-a²-ac=0，化為e²-e-1=0，又e＞1，解得e=

1+ 5

2

，因此該雙曲線是黃金雙曲線；
③如圖，∵∠F₁B₁A₂=90°，∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2，
∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化為c²-ac-a²=0，由②可知該雙曲線是黃金雙曲線；
④如圖，∵∠MON=90°，
∴MN⊥x軸，|MF2|=

b2

a

，且△MOF₂是等腰直角三角形．
∴c=

b2

a

，即b²=ac，由②可知：該雙曲線是黃金雙曲線．
綜上可知：①②③④所給出的雙曲線都是黃金雙曲線．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了新定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，屬于中檔題．