Question

19．已知tan（$\frac{π}{6}$-α）=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，則sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+$\frac{π}{3}$）和sin（α+$\frac{π}{3}$）的值，在利用三角恒等變換化簡(jiǎn)要求的式子為 sin（α+$\frac{π}{3}$），從而得出結(jié)論．

解答 解：∵tan（$\frac{π}{6}$-α）=cot（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{cos（α+\frac{π}{3}）}{sin（α+\frac{π}{3}）}$=-2，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，π]．
再結(jié)合${sin}^{2}（α+\frac{π}{3}）$+${cos}^{2}（α+\frac{π}{3}$）=1，∴cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
則sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角恒等變換，屬于中檔題．