Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)，M 為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連接MF₁并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N，連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連接PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問(wèn)是否存在常數(shù)λ，使得k₁+λk₂=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得，從而有a+c=5（a-c），結(jié)合離心率定義即可求得答案；
（2）由點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)可求得c值，進(jìn)而可求出a值、b值，得到橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理可把P、Q坐標(biāo)用M、N坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)三點(diǎn)M、F₁、N共線及斜率公式可得k₁、k₂間的關(guān)系式，由此可得答案．
解答：解：（1）∵，∴．
∴a+c=5（a-c），化簡(jiǎn)得2a=3c，
故橢圓E的離心率為．
（2）存在滿足條件的常數(shù)λ，．
∵點(diǎn)D（1，0）為線段OF₂的中點(diǎn)，∴c=2，從而a=3，，
左焦點(diǎn)F₁（-2，0），橢圓E的方程為．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則直線MD的方程為，
代入橢圓方程，整理得，．
∵，∴．
從而，故點(diǎn)．同理，點(diǎn)．
∵三點(diǎn)M、F₁、N共線，∴，從而x₁y₂-x₂y₁=2（y₁-y₂）．
從而．
故，從而存在滿足條件的常數(shù)λ，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立、三點(diǎn)共線及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高，屬難題．