Question

已知圓C:x²+(y-1)²=5,直線l:mx-y+1-m=0.

(1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點;

(2)設(shè)l與圓C交于A、B兩點,若|AB|=,求l的傾斜角;

(3)求弦AB的中點M的軌跡方程;

(4)若定點P(1,1)分弦AB為=,求此時直線l的方程.

Answer 1

(1)證明：由已知l:y-1=m(x-1),

∴直線l恒過定點P(1,1).

∵1²+(1-1)²=1＜5,

∴P在圓C內(nèi).則直線l與圓C總有兩個不同的交點.

(2)解：將直線l與圓C的方程聯(lián)立,消去y得(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0.               (*)

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則x₁、x₂為方程(*)的兩實根,

∵|AB|=|x₁-x₂|,

∴=·.∴m²=3,m=±.

∴l(xiāng)的傾斜角為α=或.

(3)解：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),連結(jié)CM、CP,

∵C(0,1),P(1,1),|CM|²+|PM|²=|CP|²,∴x²+(y-1)²+(x-1)²+(y-1)²=1.

    整理得軌跡方程為x²+y²-x-2y+1=0(x≠1).

(4)解：∵=,

∴1=.∴x₁=-(x₁+x₂).

    又∵x₁+x₂=,∴x₁=,x₁=.

    解方程(1+m²)x²-2m²x+m²-5=0,得x₁=,

∴

=,

    解得m=±1.

∴直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0.