Question

某車間為了制作某個零件，需從一塊扇形的鋼板余料（如圖1）中按照圖2的方式裁剪一塊矩形鋼板ABCD，其中頂點B、C在半徑ON上，頂點A在半徑OM上，頂點D在上，，ON=OM=1．設∠DON=θ，矩形ABCD的面積為S．
（Ⅰ）用含θ的式子表示DC、OB的長；
（Ⅱ）試將S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅲ）求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接在三角形中利用三角函數(shù)可以表示DC、OB的長；
（2）S=BC×CD，由（1）可以求出相應函數(shù)；
（3）表達成θ的函數(shù)關系式，再利用導數(shù)方法研究函數(shù)的最大值，
解答：解：（1）在△ODC中DC=sinθ，在△OAB中，，從而OB=sinθ；
（2）在△ODC中OC=cosθ，從而S=BC×CD=（）
（3）由得，由，得，易得時，S的最大值為．
點評：解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數(shù)學問題，在數(shù)學領域尋找適當?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實際問題中加以說明．