Question

設函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)的定義域然后求導數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性的變換情況求出極值；
（Ⅱ）先求出f（x）的取值范圍，求出f（x）的最值，因此對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要條件是，得到約束條件，由線性規(guī)劃得a-b的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ），
當x∈（-2，1）時，f′（x）＞0；
當x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0．
故f（x）在（-2，1）單調(diào)增加，在（-∞，-2），（1，+∞）單調(diào)減少．
f（x）的極小值，極大值f（1）=1．
（Ⅱ）由知，
即．
由此及（Ⅰ）知f（x）的最大值為1，最小值為．
因此對一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要條件是
即a，b滿足約束條件，
由線性規(guī)劃得，a-b的最大值為5．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和簡單線性規(guī)劃等有關(guān)知識，屬于基礎題．