Question

若數(shù)列{b_n}滿足：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{b_n}是公差為d的準等差數(shù)列．如：若則{c_n}是公差為8的準等差數(shù)列．
（1）求上述準等差數(shù)列{c_n}的第8項c₈、第9項c₉以及前9項的和T₉；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準等差數(shù)列，并求其通項公式；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知把n=8，n=9分別代入數(shù)列的通項可求c₈，c₉，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求T₉
（2）由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），兩式相減可知a_n+2-a_n=2，結(jié)合n的奇偶及等差數(shù)列的通項公式可求
（3）法一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇數(shù)項，31各偶數(shù)項，分組結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求S₆₃，然后結(jié)合已知不等式可求a的范圍
法二：當n為偶數(shù)時，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1），然后各式相加可求S_n，而S₆₃=S₆₂+a₆₃
代入可求S₆₃，然后結(jié)合已知不等式可求a的范圍
解答：解：（1）c₈=41，c₉=35（2分）
．（4分）
（2）∵a_n+a_n+1=2n①a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2．
所以，{a_n}為公差為2的準等差數(shù)列．                                （2分）
當n為奇數(shù)時，；                        （2分）
當n為偶數(shù)時，，（2分）
∴
（3）解一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇數(shù)項，31各偶數(shù)項，
所以，．（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
解二：當n為偶數(shù)時，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1）
將上面各式相加，得．
∵（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
點評：本題主要考查了等差 數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，以新定義為載體考查了數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，及等差數(shù)列的求和公式的綜合應(yīng)用．