Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其左、右焦點為F₁、F₂，點P是坐標平面內(nèi)一點，且|OP|=，=其中O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（-，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在x軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)P（x，y），已知|OP|=，=，可得，即可解得c，再利用及a²=b²+c²即可；
（2）存在定點M（-2，0），使以AB為直徑的圓恒過這個點．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線l：代入橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，只有證明=0即可．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），∵|OP|=，=，
∴，化為，
解得．
又，解得．
∴橢圓C的方程為；
（2）存在定點M（-2，0），使以AB為直徑的圓恒過這個點．證明如下：
設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把直線l：代入橢圓方程得，
∴，．
∴=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=
=（1+k²）x₁x₂++4+
=++4+
=
=0．
∴MA⊥MB．
即以AB為直徑的圓恒過這個定點M（-2，0）．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算、兩點間的距離關(guān)系等基礎(chǔ)計算與基本技能，考查了推理能力和計算能力．