已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，滿足與a＝(3，－1)共線．

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明λ2＋μ2為定值．

答案：
解析：

　　(1)解：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)(c，0)，

　　則直線AB的方程為y＝x－c，代入＝1，化簡得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0．

　　令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝．

　　由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，與a共線，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0

　　又y1＝x1－c，y2＝x2－c，∴3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，∴x1＋x2＝．

　　即所以a2＝3b2．∴c＝，故離心率e＝

　　(2)證明：由(1)知a2＝3b2，所以橢圓＝1可化為x2＋3y2＝3b2．

　　設(shè)＝(x，y)，由已知得(x，y)＝(x1，y1)＋μ(x2，y2)，

　　∴

　　∴M(x，y)在橢圓上，∴(x1＋μx2)2＋3(y1＋μy2)2＝3b2．

　　即2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2μ(x1x2＋3y1y2)＝3b2．

　　由(1)知x1＋x2＝c，a2＝c2，b2＝c2

　　∴x1x2＝

　　∴x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)＝4x1x2－3(x1＋x2)c＋3c2＝c2－c2＋3c2＝0．

　　又x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，代入①得2＋μ2＝1．故2＋μ2為定值，定值為1．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=（3，-1）共線．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
(λ，μ∈R)，證明λ2+μ2為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，斜率為1且過橢圓右焦點F（2，0）的直線交橢圓于A，B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的長半軸長為
6
6
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，橢圓短半軸長為1，動點M（2，t）（t＞0）在直線x=
a2c
（a為長半軸，c為半焦距）上．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，
OA
+
OB
與
a
=(3，-1)共線，則該橢圓的離心率為（　�。�
A、
5
3
B、
3
2
C、
6
3
D、
2
2
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案