Question

13．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前項和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n，n∈N⁺．
（1）求a₁，并求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）S₁=a₁≠0，當n=1時，2a₁-a₁=a₁•a₁，解得a₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1，即可證明．
（2）a_n=2^n-1．na_n=n•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁=a₁≠0，∴當n=1時，2a₁-a₁=a₁•a₁，解得a₁=1，
下面證明：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2{a}_{n}-{a}_{1}}{{S}_{1}}$-$\frac{2{a}_{n-1}-{a}_{1}}{{S}_{1}}$，化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，公比為2，首項為1．
（2）a_n=2^n-1．
na_n=n•2^n-1．
∴數(shù)列{na_n}的前n項和T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的定義與通項公式求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．