【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,討論函數(shù)
的單調(diào)性;
(2)是否存在實數(shù),對任意
,
, 有
恒成立,若存在,求出
的范圍,若不存在,請說明理由;
(3)記,如果
是函數(shù)
的兩個零點,且
,
是
的導(dǎo)函數(shù),證明:
.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析(1)求導(dǎo)得分
,
,
三種情況討論可得
的單調(diào)區(qū)間.
(2) 恒成立,不妨設(shè)
,即
,令
,則
在
上為增函數(shù),只要
在
恒成立求解即可.
(3)利用,(
)是函數(shù)
的兩個零點這一條件得
,兩式推出關(guān)于
,和a的一個等式,即可利用
表示
。求出
之后,將
代入得
,構(gòu)造函數(shù)
,其中
,利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值為零,又
表達式中,
,得證.
試題解析:(1)的定義域為
①若,則
,
,
在
上單調(diào)遞增;
②若,則
,而
,∴
,
當(dāng)時,
;當(dāng)
及
時
,
所以在
上單調(diào)遞減,在
及
單調(diào)遞增;
③若,則
,同理可得
在
上單調(diào)遞減,在
及
單調(diào)遞增.
(2)假設(shè)存在,對任意
,有
恒成立,
不妨設(shè),只要
,即
,
令,只要
在
上為增函數(shù),
只要在
恒成立,只要
,故存在
時,對任意
,有
恒成立.
(3)由題意知,
兩式相減,整理得,所以
,又因為
,
所以
令,則
,
所以在
上單調(diào)遞減,故
又,所以
點晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,不等式恒成立,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性,求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小,解不等式可得單調(diào)區(qū)間,要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào),只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0(或者恒小于等于0即可),要證明一個不等式,我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),求其值最值即可.這類問題的通解方法就是:劃歸與轉(zhuǎn)化之后,就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,圖像與性質(zhì),進而求解得結(jié)果.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)是定義在
上的函數(shù),并且滿足下面三個條件:①對任意正數(shù)
,都有
;②當(dāng)
時,
;③
.
(1)求,
的值;
(2)證明在
上是減函數(shù);
(3)如果不等式成立,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中
,且
為常數(shù)).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意的,都有
成立,求
的取值范圍;
(3)若方程在
上有且只有一個實根,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】班主任為了對本班學(xué)生的考試成績進行分析,決定從本班24名女同學(xué),18名男同學(xué)中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.
(1)如果按照性別比例分層抽樣,可得到多少個不同的樣本?(寫出算式即可,不必計算出結(jié)果)
(2)如果隨機抽取的7名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成績(單位:分)對應(yīng)如下表:
若規(guī)定85分以上(包括85分)為優(yōu)秀,從這7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖.
(Ⅰ)試判斷該幾何體是什么幾何體?
(Ⅱ)畫出其側(cè)視圖,并求該平面圖形的面積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動圓過定點
,并且內(nèi)切于定圓
.
(1)求動圓圓心的軌跡方程;
(2)若上存在兩個點
,(1)中曲線上有兩個點
,并且
三點共線,
三點共線,
,求四邊形
的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業(yè)務(wù).該地有,
兩種“共享單車”(以下簡稱
型車,
型車).某學(xué)習(xí)小組7名同學(xué)調(diào)查了該地區(qū)共享單車的使用情況.
(Ⅰ)某日該學(xué)習(xí)小組進行一次市場體驗,其中4人租到型車,3人租到
型車.如果從組內(nèi)隨機抽取2人,求抽取的2人中至少有一人在市場體驗過程中租到
型車的概率;
(Ⅱ)根據(jù)已公布的2016年該地區(qū)全年市場調(diào)查報告,小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)3月,4月的用戶租車情況城現(xiàn)如表使用規(guī)律.例如,第3個月租型車的用戶中,在第4個月有
的用戶仍租
型車.
第3個月 第4個月 | 租用 | 租用 |
租用 | ||
租用 |
若認(rèn)為2017年該地區(qū)租用單車情況與2016年大致相同.已知2017年3月該地區(qū)租用,
兩種車型的用戶比例為1:1,根據(jù)表格提供的信息,估計2017年4月該地區(qū)租用兩種車型的用戶比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的右焦點為F,右頂點為A,設(shè)離心率為e,且滿足
,其中O為坐標(biāo)原點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點的直線l與橢圓交于M,N兩點,求△OMN面積的最大值.
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