Question

設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，其中.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及數(shù)列的最大項(xiàng).

 

Answer 1

（1）；（2），最大項(xiàng)是.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意可知，考慮到當(dāng)時(shí)，，因此可以結(jié)合條件消去得到數(shù)列的地推公式：當(dāng)時(shí)，，

∴，∴，容易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系式也成立，從而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，即有；（2）根據(jù)（1）中求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件，因此可以考慮采用裂項(xiàng)相消法來(lái)求其前項(xiàng)和：

，利用作差法來(lái)考察數(shù)列的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，也有，但；當(dāng)時(shí)，，，即，因此最大項(xiàng)即為.

試題解析：（1）由、、成等差數(shù)列知， 1分

當(dāng)時(shí)，，∴，

∴， 4分

當(dāng)時(shí)，由得， 5分

綜上知，對(duì)任何,都有,又，∴，. 6分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴； 7分

(2)， 10分

， 12分

，

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，也有，但；當(dāng)時(shí)，，，即，∴數(shù)列的的最大項(xiàng)是. 15分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和；3.數(shù)列單調(diào)性的判斷.