Question

如圖1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D為AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為點(diǎn)D，如圖2．
（I）求證：AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形的中位線定理、平行線的傳遞性、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理等即可得出；
（II））由已知點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為點(diǎn)D，可得PD⊥平面ABCD．即PD是三棱錐P-ABC的高．利用三棱錐P-ABC的體積V=即可得出．
解答：（I）證明：取AD的中點(diǎn)H，連接FH、GH．
∵E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，∴EF∥CD，CGDH，
∴四邊形CDHG是平行四邊形，∴CD∥GH．
∴EF∥GH．∴四點(diǎn)EFHG四點(diǎn)共面．
又FH∥PA．
PA?平面EFGH，F(xiàn)H?平面EFGH．
∴PA∥平面EFGH．
（II）解：∵點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為點(diǎn)D，∴PD⊥平面ABCD．
即PD是三棱錐P-ABC的高．
而=2．
∴三棱錐P-ABC的體積V==．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理、平行線的傳遞性、平行四邊形的判定定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定、三棱錐的體積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵．