Question

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

AB

•

BD

=0，且4|

AB

|2+2|

BD

|2=1，沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積是（　　）

• A．

  2

  24

  π
• B．

  1

  48

  π
• C．

  π

  4

• D．

  π

  2

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)量積為零，得∠ABD=∠CDB=90°，故AC的中點O為外接球的球心，AC就是球的直徑．由面面垂直的性質(zhì)和勾股定理，算出AC²的值，結(jié)合球的表面積公式，可得外接球的表面積．

解答：解：根據(jù)題意，可知折疊后的三棱錐如右圖所示．
∵

AB

•

BD

=0，∴∠ABD=∠CDB=90°，
由此可得AC的中點O即為外接球的球心
又∵二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面BCD，且AB⊥BD
∴AB⊥平面BCD，可得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形
∵|

BC

|2=|

AD

|2=|

AB

|2+|

BD

|2
∴Rt△ABC中，|

AC

|2=|

AB

|2+|

BC

|2=2|

AB

|2+|

BD

|2=

1

2

從而三棱錐A-BCD的外接球的表面積S=4π•（

1

2

AC2）=π•AC²=

π

2

故答案為：D

點評：本題將平行四邊折疊，求折成三棱錐的外接球表面積，著重考查了面面垂直的性質(zhì)、球表面積公式和球內(nèi)接多面體的性質(zhì)等知識，屬于中檔題．