已知f(x)=log
1
3
x2+px+q
x2+mx+1
.是否存在實數(shù)p、q、m,使f(x)同時滿足下列三個條件:
①定義域為R的奇函數(shù);
②在[1,+∞)上是減函數(shù);
③最小值是-1.若存在,求出p、q、m;若不存在,說明理由.
∵f(x)是定義域為R的奇函數(shù),
∴f(0)=0 即log
1
3
q=0,得q=1
又f(-x)=-f(x)
log
1
3
x2-px+1
x2-mx+1
=-log
1
3
x2+px+1
x2+mx+1
,
x2+1-px
x2+1-mx
=
x2+1+mx
x2+1+px
,
即(x2+1)2-p2x2=(x2+1)2-m2x2
∴p2=m2
若p=m,則f(x)=0,不合題意.故p=-m≠0
∴f(x)=log
1
3
x2-mx+1
x2+mx+1

由f(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),
x≠0時,令g(x)=
x2-mx+1
x2+mx+1
=1-
2mx
x2+mx+1
=1-
2m
x+
1
x
+m

x+
1
x
在[1,+∞)上遞增,在(-∞,-1)也遞增,只有m>0時,在[1,+∞)上g(x)遞增,從而f(x)遞減.
即m>0時函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,0)上為增函數(shù),在(0,1)上為增函數(shù),在(1,+∞)上為減函數(shù)
∴x=-1時,x+
1
x
在(-∞,-1]上取得最大值-2,此時由f(x)的最小值為-1得g(x)的最大值為3.
∴1-
2m
m-2
=3    得m=1,從而p=-1
綜上可知,存在p=-1,q=1,m=1.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
log
(4x+1)
4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時,函數(shù)個g(x)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)為R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=3x,那么f(log
 
4
1
2
)的值為
-9
-9

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義域為R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時有f(x)=log 
110
x

(1)求f(x)的解析式;  
(2)解不等式f(x)≤2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=log 
1
4
x,那么f(-
1
2
)的值是( 。
A、
1
2
B、-
1
2
C、2
D、-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=
log(4x+1)4
+kx是偶函數(shù),其中x∈R,且k為常數(shù).
(1)求k的值;
(2)記g(x)=4f(x)求x∈[0,2]時,函數(shù)個g(x)的最大值.

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